【題目】已知動圓過定點(diǎn),且與直線相切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)設(shè)是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的斜率分別為,且,證明直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)
【答案】(1);(2)證明見解析,過定點(diǎn).
【解析】
(1)由題意可得,動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等,由拋物線的定義可求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)設(shè),則.由題意知直線的斜率存在,從而設(shè)方程為,將與聯(lián)立消去,得,由韋達(dá)定理得,代入得,代入直線方程即得.
(1)設(shè)為動圓圓心,記為,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,
由題意知:即動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等,
由拋物線的定義知,點(diǎn)的軌跡為拋物線,其中為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線,
所以軌跡方程為;
(2)如圖,設(shè),由題意得,
由題意知直線的斜率存在,從而設(shè)AB方程為,顯然,
將與聯(lián)立消去,得
由韋達(dá)定理知
由,即
將①式代入上式整理化簡可得:,
所以AB方程為過定點(diǎn).
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【題目】已知函數(shù),,.
(1)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并說明理由;
(2)若是在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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【題目】如圖,在多面體中,四邊形為正方形,,,.
(1)證明:平面平面.
(2)若平面,二面角為,三棱錐的外接球的球心為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè),對任意的恒成立,求整數(shù)的最大值;
求證:當(dāng)時(shí),
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【題目】為更好地落實(shí)農(nóng)民工工資保證金制度,南方某市勞動保障部門調(diào)查了年下半年該市名農(nóng)民工(其中技術(shù)工、非技術(shù)工各名)的月工資,得到這名農(nóng)民工月工資的中位數(shù)為百元(假設(shè)這名農(nóng)民工的月工資均在(百元)內(nèi))且月工資收入在(百元)內(nèi)的人數(shù)為,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名,非技術(shù)工有名,則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系?
參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
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【題目】為迎接雙流中學(xué)建校周年校慶,雙流區(qū)政府計(jì)劃提升雙流中學(xué)辦學(xué)條件.區(qū)政府聯(lián)合雙流中學(xué)組成工作組,與某建設(shè)公司計(jì)劃進(jìn)行個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目的洽談,考慮到工程時(shí)間緊迫的現(xiàn)狀,工作組對項(xiàng)目洽談的順序提出了如下要求:重點(diǎn)項(xiàng)目甲必須排在前三位,且項(xiàng)目丙、丁必須排在一起,則這六個(gè)項(xiàng)目的不同安排方案共有()
A.種B.種C.種D.種
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【題目】對滿足的非空集合、,有下列四個(gè)命題:
①“若任取,則”是必然事件; ②“若,則”是不可能事件;
③“若任取,則”是隨機(jī)事件; ④“若,則”是必然事件.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A.4B.3C.2D.1
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【題目】某設(shè)計(jì)部門承接一產(chǎn)品包裝盒的設(shè)計(jì)(如圖所示),客戶除了要求、邊的長分別為和外,還特別要求包裝盒必需滿足:①平面平面;②平面與平面所成的二面角不小于;③包裝盒的體積盡可能大.
若設(shè)計(jì)部門設(shè)計(jì)出的樣品滿足:與均為直角且長,矩形的一邊長為,請你判斷該包裝盒的設(shè)計(jì)是否能符合客戶的要求?說明理由.
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【題目】已知橢圓1()的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn),直線與橢圓E交于B,C兩點(diǎn)(B,C不與A重合).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若O,B,C三點(diǎn)不共線時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求面積的最大值;
(3)設(shè)直線AB,AC與軸的交點(diǎn)分別為P,Q,求證:.
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