Question

9．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2且（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若記b_n=$\frac{4}{{a}_{n}^{2}}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n．求證：S_n＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （I）將（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0變形得：（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，由于數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列故有：$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+1}{n}$，利用遞推關(guān)系即可證明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{4}{{4{n^2}}}＜\frac{4}{（2n+1）（2n-1）}=2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）（n≥2）$，利用“裂項(xiàng)求和方法”即可證明．

解答 證明：（I）將（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0變形得：（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，
由于數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列故有：$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$=…=$\frac{{a}_{1}}{1}$=2，
∴a_n=2n．
從而得知：數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{4}{{4{n^2}}}＜\frac{4}{（2n+1）（2n-1）}=2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）（n≥2）$，
從而S_n=b₁+b₂+…+b_n＜1+2$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=1+2$（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$=$1+\frac{2}{3}-\frac{2}{2n+1}＜\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和方法”、數(shù)列單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．