Question

設函數(shù)f（x）=

ax

1+ax

（a＞0a≠1），其中[m]表示不超過m的最大整數(shù)，如[4.1]=4，則函數(shù)y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]的值域是（　�。�

• A、{0，1}
• B、{-1，1}
• C、{-1，0}
• D、{-1，0，1}

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題先記g（x）=f（x）-

1

2

，研究g（-x）與g（x）的關系，證明函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，得到g（-x）與g（x）互為相反數(shù)，再將g（x）表示成首數(shù)[g（x）]和尾數(shù)h（x），然后分尾數(shù)h（x）=0或h（x）∈（0，1）進行分類討論，研究[g（-x）]，得到[g（-x）]與[g（x）]的關系，從而求出[g（x）]+[g（-x）]的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

ax

1+ax

（a＞0，a≠1），
∴記g（x）=f（x）-

1

2

，
則g（-x）=f（-x）-

1

2

，
=

ax

1+ax

-

1

2

+

a-x

1+a-x

-

1

2

=

ax

1+ax

+

1

1+ax

-1
=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)．
∵函數(shù)y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]，
∴y=[g（x）]+[g（-x）]．
記h（x）=g（x）-[g（x）]，
則h（x）∈[0，1）．
①當h（x）=0時，
∴g（x）=[g（x）]，
g（-x）=-g（x）=-[g（x）]，
[g（-x）]=-[g（x）]，
∴[g（x）]+[g（-x）]=0，
∴y=0；
②當h（x）∈（0，1）時，
∴g（x）=[g（x）]+h（x），
∴g（-x）=-g（x）=-[g（x）]-h（x）=-[g（x）]-1+1-h（x），
其中1-h（x）∈（0，1），
∴[g（-x）]=-[g（x）]-1，
∴[g（x）]+[g（-x）]=-1，
∴y=-1．
∴函數(shù)y=[f（x）-

1

2

]+[f（-x）-

1

2

]的值域為{0，-1}．
故選C．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、數(shù)的整數(shù)部分和尾數(shù)部分，還考查了分類討論的思想方法，本題思維難度較大，有一定的新穎性，屬于中檔題．