Question

已知a，b∈[-2，2]，在此范圍內(nèi)任取數(shù)對(duì)（a，b），能使函數(shù)f（x）=x³-3x+a+b，有三個(gè)不同零點(diǎn)的概率是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：首先由題意求出a，b∈[-2，2]，在此范圍內(nèi)任取數(shù)對(duì)（a，b），能使函數(shù)f（x）=x³-3x+a+b，有三個(gè)不同零點(diǎn)的a，b滿足的不等式組，明確所求屬于幾何概型的概率求法，利用幾何概型公式解答即可．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=x³-3x+a+b有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，極小值小于0，極大值大于0；
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，
x∈（-1，1），f′（x）＜0，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值f（1）=a+b-2和極大值f（-1）=a+b+2．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³-3x+a+b有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以

a+b-2＜0 a+b+2＞0

，
已知a，b∈[-2，2]，在此范圍內(nèi)任取數(shù)對(duì)（a，b），能使函數(shù)f（x）=x³-3x+a+b，有三個(gè)不同零點(diǎn)的a，b滿足的條件為

a+b-2＜0 a+b+2＞0 -2≤a≤2 -2≤b≤2

，
此區(qū)域如圖，
其面積為4×4-2×2=12，
根據(jù)幾何概型概率公式得能使函數(shù)f（x）=x³-3x+a+b，有三個(gè)不同零點(diǎn)的概率為

12

16

=

3

4

；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何概型概率求法；關(guān)鍵是明確事件的集合的測(cè)度是用區(qū)域的長(zhǎng)度，還是面積或者體積，然后利用幾何概型概率公式解答．