Question

設(shè)定義在R的函數(shù)，R. 當(dāng)時(shí)，取得極大值，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
（I）求函數(shù)的表達(dá)式；
（II）判斷函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間上，并說(shuō)明理由；
 （III）設(shè)，（），求證：.

Answer 1

（I）.
（II）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或.
（III）見(jiàn)解析

（I）將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，  
∴ 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù). 
∴.                       ……………………………..2分
由題意可得，解得.
∴.                          ……………………………..4分
  （II）存在滿足題意的兩點(diǎn).                         ……………………………..6分
由（I）得.
假設(shè)存在兩切點(diǎn)，，且.
則.   
∵，∴或，
即或. 
從而可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或.
…………………………….9分
（III）∵當(dāng)時(shí)，，∴ 在上遞減.
由已知得，∴，即.
……………………………..11分
又時(shí)，；時(shí)，，
∴在上遞增，在上遞減.
∵，∴.  
∵，且，
∴.          ……………………………13分
∴.  ………………………..14分