Question

7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=PD，BD=2$\sqrt{3}$，AP=4AF．
（Ⅰ）求證：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直線CP與平面BDF所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角F-BD-P的余弦值．

Answer 1

分析 （I）利用菱形與等腰三角形的性質(zhì)及其線面垂直的判定定理即可證明．
（Ⅱ）由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用等邊三角形的性質(zhì)可得：PO=$\sqrt{3}$．由$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，可到$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$．設(shè)平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CP}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CP}|}$即可得出直線CP與平面BDF所成角的正弦值．
（III）由（II）可得：平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$，取平面BDP的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
∴O為AC，BD中點(diǎn)．
又∵PA=PC，PB=PD，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∴PO⊥底面ABCD．
（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，
又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
由△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=PD，
可得PO=$\sqrt{3}$．
∴A（1，0，0），C（-1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CP}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，∴$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$=$（\frac{3}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}）$，
設(shè)平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，0，-\sqrt{3}）$．
∴cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CP}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{4}×\sqrt{4}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直線CP與平面BDF所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$，
∴直線CP與平面BDF所成角為30^°．
（III）解：由（II）可得：平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=$（1，0，-\sqrt{3}）$．
取平面BDP的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×1}$=$\frac{1}{2}$．
∴二面角F-BD-P的余弦值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了空間位置關(guān)系、空間角、勾股定理、菱形與等邊三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．