Question

17．平面直角坐標系xOy中，直線x-y+1=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為$\sqrt{6}$．
（1）求圓O的方程；
（2）在直線x+3y-10=0上找一點P（m，n），使得過該點所作圓O的切線段最短，并求切線長．

Answer 1

分析 （1）畫出圖形，結(jié)合圖形，利用勾股定理求出圓O的半徑，寫出圓O的標準方程；
（2）可判直線與圓相離，由直線和圓的知識可得符合條件的直線，解方程組可得所求點．

解答 解：（1）畫出圖形，如圖所示；
過點O作OC垂直于直線AB，垂足為C，連接OB，
OC=$\frac{|1×0-1×0+1|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圓O的半徑為OB=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$；
∴圓O的標準方程為x²+y²=2；
（2）∵圓心（0，0）到直線x+3y-10=0的距離d=$\frac{10}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{10}$＞$\sqrt{2}$=r，
∴直線與圓相離，由直線和圓的知識可得只有當過圓心向直線x+3y-10=0作垂線，
過其垂足作圓的切線所得切線段最短，此時垂足即為要求的點P，
由直線的垂直關(guān)系設(shè)過圓心的垂線為3x-y+c=0，代入圓心坐標可得c=0，
聯(lián)立x+3y-10=0和3x-y=0可解得交點為（1，3）即為所求．
切線長$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓相切的應(yīng)用問題，解題時通常應(yīng)用圓心到直線的距離等于半徑來解答，是中檔題．