Question

4．拋物線${C_1}：y=\frac{1}{2p}{x^2}（p＞0）$的焦點(diǎn)與雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$的右焦點(diǎn)的連線交C₁于第一象限的點(diǎn)M．若C₁在點(diǎn)M處的切線平行于C₂的一條漸近線，則p=（　�。�

• A． $\frac{{7\sqrt{2}}}{16}$
• B． $\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$
• C． $\frac{{21\sqrt{2}}}{8}$
• D． $\frac{{21\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出函數(shù)y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）在x取直線與拋物線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．

解答 解：由拋物線${C_1}：y=\frac{1}{2p}{x^2}（p＞0）$得x²=2py（p＞0），
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，$\frac{p}{2}$）．
由${C_2}：\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$得a=2$\sqrt{2}$，b=1，c=3．
所以雙曲線的右焦點(diǎn)為（3，0）．
則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為$\frac{p}{2}$x+3y-$\frac{3}{2}$p=0①．
設(shè)該直線交拋物線于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），則C₁在點(diǎn)M處的切線的斜率為$\frac{{x}_{0}}{p}$．
由題意可知$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，得x₀=$\frac{\sqrt{2}}{4}$p，代入M點(diǎn)得M（$\frac{\sqrt{2}}{4}$p，$\frac{p}{16}$）
把M點(diǎn)代入①得：$\frac{p}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$p+3×$\frac{p}{16}$-$\frac{3}{2}$p=0．
解得p=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．