Question

14．如圖，三角形ABC是邊長為4的正三角形，PA⊥底面ABC，$PA=\sqrt{7}$，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE⊥AC．
（1）證明：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直線AD和平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先證明PA⊥DE，再證明DE⊥AC，可得DE⊥平面PAC，再利用平面和平面垂直的判定定理證得平面PDE⊥平面PAC．
（2）過點(diǎn)A作AF⊥PE，連結(jié)DF，先證明∠ADF為直線AD和平面PDE所成的角，解直角三角形，求得該角的正弦值．

解答 解：（1）證明：∵PA⊥底面ABC，DE?底面ABC，∴PA⊥DE．
又DE⊥AC，PA∩AC=A，∴DE⊥平面PAC．
又DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．
（2）解：過點(diǎn)A作AF⊥PE，連結(jié)DF．
∵平面PDE⊥平面PAC，平面PDE∩平面PAC=PE，AF?平面PAC，
∴AF⊥平面PDE，
∴∠ADF為直線AD和平面PDE所成角．
∵△ABC是邊長為4的正三角形，∴$AD=2\sqrt{3}$，$AE=4-CE=4-\frac{1}{2}CD=3$．
又∵$PA=\sqrt{7}$，∴$PE=\sqrt{P{A^2}+A{E^2}}=\sqrt{\;{{（\;\sqrt{7}\;）}^2}+{3^2}}=4$，$AF=\frac{AE•PA}{PE}=\frac{{3\sqrt{7}}}{4}$，∴$sin∠ADF=\frac{AF}{AD}=\frac{{\sqrt{21}}}{8}$．
即直線AD和平面PDE所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線和平面所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．