Question

4．己知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=l處有極值10，則f（$\sqrt{2}$）+f′（$\sqrt{2}$）+$\sqrt{2}$等于（　�。�

• A． ． 11
• B． ．12
• C． 19
• D． 12或19

Answer 1

分析 求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值，注意檢驗(yàn)，從而求出函數(shù)值即可．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②，
聯(lián)立①②解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，
x＜1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，所以x=1不為極值點(diǎn)，不合題意；
經(jīng)檢驗(yàn)，a=4，b=-11符合題意，
故f（x）=x³+4x²-11x+16，
故f（$\sqrt{2}$）+f′（$\sqrt{2}$）+$\sqrt{2}$=19，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x=x₀處取得極值的充要條件是f′（x₀）=0，且在x₀左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號．