本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角,其中方法一的關(guān)鍵是熟練掌握二面角及線面夾角的定義,方法二的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系,將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
解法一(幾何法):(Ⅰ)作ME∥CD交CD于E,由已知中,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,N是AD的中點,可得BN⊥AD,結(jié)合側(cè)面PAD垂直于底面ABCD,及面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可得BN⊥NE,即∠DNE為二面角M-BN-C的平面角,由二面角M-BN-C為30°,可得∠DNE=30°,可求出DE=
DP,進而得到所求的值。
(2)連接BE,由(Ⅰ)可知PE⊥平面BMN,即∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角.連接PN,則PN⊥平面ABCD,從而PN⊥BN,解△PBE可得直線PB與平面MBN所成的角。解法二(向量法):(Ⅰ)建立如圖所示的坐標系N-xyz,設(shè)PM=λPC(λ>0),求出面MBN的法向量,及面BNC的法向量,由二面角M-BN-C為30°,求出λ值,即可得到值。
(2)由上可知(
,0,3)為面MBN的法向量,設(shè)直線PB與平面MBN所成的角為θ,求出PB的方向向量
PB,代入線面夾角公式sinθ,可得直線PB與平面MBN所成的角.
(1)建立如圖所示的坐標系
,其中
,
,
,
,
,
。設(shè)
,則
,于是
,
……3分
設(shè)
為面
的法向量,則
,
,
取
,又
為面
的法向量,由二面角
為
,得
,
解得
故
。……6分
(2)由(1)知,
為面
的法向量……8分
設(shè)直線
與平面
所成的角為
,由
得
,
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
。……12分