Question

4．若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂∈D，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“緩緩函數(shù)”，有以下幾種說法：
①y=x²-x不是R上的“緩緩函數(shù)”；
②己知函數(shù)y=x+sinx，y=x-sinx都是R上的增函數(shù)，則y=sinx是R上的“緩緩函數(shù)”；
③已知函數(shù)y=x+sinx，y=x-sinx都是R上的增函數(shù)，則y=sinx不是R上的“緩緩函數(shù)”；
④若數(shù)列{x_n}滿足|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$，設(shè)y_n=sinx_n，則有：|y_n+1-y₁|＜$\frac{1}{6}$
把你認(rèn)為正確的選項(xiàng)都填在橫線上①②．

Answer 1

分析 由新定義結(jié)合舉例說明y=x²-x不是區(qū)間R的“緩緩函數(shù)”；由y=x+sinx，y=x-sinx是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，得到當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，且sinx₂-sinx₁＞x₁-x₂，兩式結(jié)合可得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂∈R均 有|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，由此可得sinx是R上的“緩緩函數(shù)”；由②知，sinx是R上的“緩緩函數(shù)，可得|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，∴|y_n+1-y_n|≤|x_n+1-x_n|，而|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$，然后通過放縮法可得|y_n+1-y₁|≤$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，說明④不正確．

解答 解：對(duì)于①，y=x²-x，
由于|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-1）|，
取x₁=3，x₂=1，則|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=x²-x不是區(qū)間R的“緩緩函數(shù)”；
對(duì)于②，y=x-sinx是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
則sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，①
又y=x+sinx也是R上的增函數(shù)，則x₁+sinx₁＜x₂+sinx₂，
即sinx₂-sinx₁＞x₁-x₂，②
由①、②得-（x₂-x₁）＜sinx₂-sinx₁＜x₂-x₁，
因此|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|，對(duì)x₁＜x₂的實(shí)數(shù)都成立，
當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，同理有|sinx₂-sinx₁|＜|x₂-x₁|成立，
又當(dāng)x₁=x₂時(shí)，不等式|sinx₂-sinx₁|=|x₂-x₁|=0，
故對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂∈R均 有|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，
因此sinx是R上的“緩緩函數(shù)”；
∴②正確，③不正確；
對(duì)于④，由②知，sinx是R上的“緩緩函數(shù)，
則|sinx₂-sinx₁|≤|x₂-x₁|，∴|y_n+1-y_n|≤|x_n+1-x_n|，
而|x_n+1-x_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$，
∴|y_n+1-y_n|≤$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
而|y_n+1-y₁|=|（y_n+1-y_n）+（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+…（y₂-y₁）|
所以|y_n+1-y₁|≤|y_n+1-y_n|+|y_n-1-y_n-2|+…+|y₂-y₁|，
則|y_n+1-y₁|≤$\frac{1}{4}$[（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）+…+（1-$\frac{1}{2}$）]
因此|y_n+1-y₁|≤$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，故④不正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，在新定義下考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)，訓(xùn)練了放縮法證明函數(shù)不等式，是中檔題．