Question

12．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，前n項和為S_n，a₁=1，且a₁，a₂，S₃成等比數(shù)列．
（1）求a_n及S_n；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{4{S}_{n}-1}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，a₂，S₃成等比數(shù)列，求出公差，由此能求出a_n及S_n．
（2）由$\frac{1}{4{S}_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用列舉法能求出數(shù)列{$\frac{1}{4{S}_{n}-1}$}的前n項和．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，（d＞0），…（1分）
∵a₁，a₂，S₃成等比數(shù)列，∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{S}_{3}$，即（1+d）²=3+3d，…（3分）
又d＞0，得d=2，…（4分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，…（5分）
∴${S}_{n}=\frac{（1+2n-1）n}{2}={n}^{2}$．…（6分）
（2）$\frac{1}{4{S}_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（9分）
∴數(shù)列{$\frac{1}{4{S}_{n}-1}$}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．…（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂舉法的合理運用．