Question

3．某學校對高三學生一次模擬考試的數(shù)學成績進行分析，隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖所示的成績頻率分布直方圖．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖估計這次考試全校學生數(shù)學成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均值；
（Ⅱ）若成績不低于80分為優(yōu)秀成績，視頻率為概率，從全校學生中有放回的任選3名學生，用變量ξ表示3名學生中獲得優(yōu)秀成績的人數(shù)，求變量ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖得[70，80）對應(yīng)的小矩形最高，能出眾數(shù)，由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出中位數(shù)和綜合素質(zhì)成績的平均值．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知優(yōu)秀率為0.3，由題意知ξ～B（3，0.3），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得[70，80）對應(yīng)的小矩形最高，
∴眾數(shù)為：$\frac{70+80}{2}$=75，
∵[50，70）的頻率為（0.012+0.018）×10=0.3，
[70，80）的頻率為0.04×10=0.4，
∴中位數(shù)為：70+$\frac{0.5-0.3}{0.4}×10$=75，
平均值為：55×0.12+65×0.18+75×0.40+85×0.22+95×0.08=74.6
所以綜合素質(zhì)成績的平均值為74.6． …（4分）
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知優(yōu)秀率為10×（0.008+0.022）=0.3，
由題意知ξ～B（3，0.3），$P（ξ=k）=C_3^k{（0.3）^k}{（0.7）^{3-k}}$，…（6分）
$P（ξ=0）=C_3^0{（0.3）^0}{（0.7）^3}=0.343$，
$P（ξ=1）=C_3^1{（0.3）^1}{（0.7）^2}=0.441$，
$P（ξ=2）=C_3^2{（0.3）^2}{（0.7）^1}=0.189$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（0.3）^3}{（0.7）^0}=0.027$…（10分）
故ξ的分布列為

P	0	1	2	3
ξ	0.343	0.441	0.189	0.027

E（ξ）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．