Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+2ln（1-x）（a為常數(shù)）．
（1）若f（x）在x=-1處有極值，求a的值并判斷x=-1是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；
（2）若f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)f（x）在x=-1處有極值，得到f′（-1）=0，求得a的值，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的增減性，根據(jù)f（x）的增減性即可判斷；
（2）根據(jù)f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立，采取分離參數(shù)的方法求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f′（x）=2ax-$\frac{2}{1-x}$，x∈（-∞，1），f′（-1）=-2a-1=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$．這時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2ln （1-x），f′（x）=-x-$\frac{2}{1-x}$=$\frac{（x+1）（x-2）}{1-x}$．
∵x＜1，
∴1-x＞0，x-2＜0
∴當(dāng)x＜-1時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜1時(shí)f′（x）＜0，
∴x=-1是f（x）的極大值點(diǎn)．
（2）f′（x）≥0在x∈[-3，-2]上恒成立，f′（x）≥0，即2ax-$\frac{2}{1-x}$≥0．
∴a≤$\frac{1}{-x2+x}$在x∈[-3，-2]上恒成立，
∵-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈[-12，-6]，
∴$\frac{1}{-x2+x}$∈[-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{12}$]
∴（$\frac{1}{-x2+x}$）_min=-$\frac{1}{6}$，a≤-$\frac{1}{6}$．即a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，恒成立問題一般采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，在求最值過程中，用到函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．