Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在R上偶函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞減，則不等式f（x²-3x）＜f（4）的解集為（-1，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，討論變量的取值范圍即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上偶函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，÷
①當(dāng)x²-3x≤0不等式等價(jià)為f（x²-3x）＜f（-4），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x≤0}\\{{x}^{2}-3x＞-4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{x∈R}\end{array}\right.$，此時(shí)0≤x≤3，
②當(dāng)x²-3x＞0不等式f（x²-3x）＜f（4），
等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x＞0}\\{{x}^{2}-3x＜4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞3或x＜0}\\{-1＜x＜4}\end{array}\right.$，即-1＜x＜0或3＜x＜4，
綜上-1＜x＜4，
故答案為：（-1，4）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．