Question

20．已知等比數(shù)列[a_n}滿足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+log₂$\frac{1}{{a}_{n}}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+35＜0成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，
（2）先化簡b_n，再分別根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式和放縮法即可求出n的最小值．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意：有2a₁+a₁q²=3a₁q，
解得q=1或q=2，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴2a₃+4=a₂+a₄，
即2a₁q²+4=a₁q+a₁q³，
當q=1時，不成立，
當q=2時，a₁=2，
∴a_n=2ⁿ，
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+log₂$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（1+2+3+…+n）=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$
∵S_n+35＜0，
∴1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$+35＜0，
∴$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$＞36恒成立，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$≥36恒成立，
∴n（n+1）≥72，
解得n≥8，
∴使S_n+35＜0成立的n的最小值是8．

點評 本題考查了等比數(shù)列和等差的數(shù)列的性質(zhì)以及前n項和公式以及數(shù)列和不等式的關(guān)系，屬于中檔題．