Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上．
（1）當(dāng)角α的終邊為射線l：y=2$\sqrt{2}$x （x≥0）時(shí)，求cos（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）已知$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{3π}{4}$，試求$\frac{3}{2}$sin2α+$\sqrt{3}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα 和cosα 的值，再利用兩角和差的三角公式求得 cos（α+$\frac{π}{6}$）的值．
（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)要求式子的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得它的值域．

解答 解：（1）當(dāng)角α的終邊為射線l：y=2$\sqrt{2}$x （x≥0）時(shí)，
在射線l上取點(diǎn)A（1，2$\sqrt{2}$），則OA=3，
由三角函數(shù)的定義可得sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$，
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=cosαcos$\frac{π}{6}$-sinαsin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}$$•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．
（2）∵已知$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{3π}{4}$，∴2α+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{3}$]，
$\frac{3}{2}$sin2α+$\sqrt{3}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}sin2α$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α=$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$），
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，∴$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
即要求的$\frac{3}{2}$sin2α+$\sqrt{3}$cos²α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的取值范圍為[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．