Question

12．過(guò)點(diǎn)A（4，1）的圓C與直線x-y-1=0相切于點(diǎn)B（2，1），求圓C的方程，并確定圓心坐標(biāo)和半徑．

Answer 1

分析 求出直線x-y-1=0的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出過(guò)點(diǎn)B的直徑所在直線方程的斜率，求出此直線方程，根據(jù)直線方程設(shè)出圓心C坐標(biāo)，根據(jù)|AC|=|BC|，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，求出方程的解確定出C坐標(biāo)，進(jìn)而確定出半徑，寫(xiě)出圓的方程即可．

解答 解：∵直線x-y-1=0的斜率為1，
∴過(guò)點(diǎn)B直徑所在直線方程斜率為-1，
∵B（2，1），
∴此直線方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0，
設(shè)圓心C坐標(biāo)為（a，3-a），
∵|AC|=|BC|，即$\sqrt{（a-4）^{2}+（3-a-1）^{2}}$=$\sqrt{（a-2）^{2}+（2-a）^{2}}$，
解得：a=3，
∴圓心C坐標(biāo)為（3，0），半徑為$\sqrt{2}$，
則圓C方程為（x-3）²+y²=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，求出圓心坐標(biāo)與半徑是解本題的關(guān)鍵．