Question

設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間及極小值．
（2）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）對g（x）求導(dǎo)數(shù)g′（x），利用g′（x）判定g（x）的單調(diào)區(qū)間與求極值；
（2）作差比較g（x）與g（

1

x

）的大小，可通過構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-g（

1

x

），判定h（x）的單調(diào)性與取值范圍，從而確定g（x）、g（

1

x

）的大小．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx（x＞0），∴f′（x）=

1

x

；
∴g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
∴g′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
x＞1時，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；
∴g（x）有極小值是g（1）=1，單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）；
（2）∵g（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
∴g（

1

x

）=ln

1

x

+x=-lnx+x（x＞0），
∴g（x）-g（

1

x

）=2lnx+

1

x

-x（x＞0）；
令h（x）=2lnx+

1

x

-x（x＞0），
則h′（x）=

2

x

-

1

x2

-1=

2x-1-x2

x2

=

-(x-1)2

x2

≤0，
∴h（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
又∵h（1）=0，
∴當0＜x＜1時，h（x）＞0，g（x）＞g（

1

x

）；
當x=1時，h（x）=0，g（x）=g（

1

x

）；
x＞1時，h（x）＜0，g（x）＜g（

1

x

）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求極值和解不等式的有關(guān)問題，是中檔題．