設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f′(x)+lnx
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.  
(2)討論g(x)與g(
1
x
)
的大小關(guān)系.
(3)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<
1
x
對任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范圍,若不存在,請說明理由.
分析:(1)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的極值點,然后推出g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.  
(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)-g(
1
x
)=21nx-x+
1
x
,通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對x分類討論,推出g(x)與g(
1
x
)
的大小關(guān)系.
(3)利用反證法,設(shè)存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<
1
x
對任意x>0成立,導(dǎo)出矛盾結(jié)論,說明不存在滿足題意的值.
解答:解(1)由題意可知:g(x)=lnx+
1
x

g′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2

令g′(x)=0得x=1
∵0<x<1g′(x)<0x>1,g′(x)>0
∴x=1是g(x)的唯一極小值點
∴最小值為g(1)=1
(2)g(
1
x
)=-lnx+x

設(shè)F(x)=g(x)-g(
1
x
)=21nx-x+
1
x

F(x)=-
(x-1)2
x2

當(dāng)x=1時   F(1)=0即g(x)=g(
1
x
)

當(dāng)0<x<1時   F1(x)<0F(1)=0
g(x)-g(
1
x
)>0

g(x)>g(
1
x
)

當(dāng)x>1時   F1(x)<0F(1)=0
g(x)-g(
1
x
)<0

g(x)<g(
1
x
)

(3)假設(shè)?x0>0,使|g(x)-g(x0)|<
1
x
對?x>0
成立即 lnx<g(x0)<lnx+
2
x

x0=eg(x0)
則lnx=g(x0
這與lnx<g(x0)矛盾
因此不存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|<
1
x
對任意x>0成立.
點評:本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值判斷函數(shù)值的大小,反證法證明存在性問題的方法,考查邏輯推理能力與計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論g(x)與g(
1
x
)
的大小關(guān)系;
(Ⅲ)求a的取值范圍,使得g(a)-g(x)<
1
a
對任意x>0成立.

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設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x)
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間及極小值.
(2)討論g(x)與g(
1x
)
的大小關(guān)系.

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