Question

13．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于單位圓O，設∠AOx=θ，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C．y_C）．
（1）若θ終邊在第一象限，sinθ=$\frac{1}{3}$，求點C的坐標；
（2）對任意角θ，y_A²+y_B²+y_C²是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用和角的三角函數(shù)，結合三角函數(shù)的定義，即可求點C的坐標；
（2）y_A²+y_B²+y_C²=sin²θ+sin²（θ+120°）+sin²（θ+240°），化簡即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，cosθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
設C（x，y），則x=cos（θ+240°）=cosθcos240°-sinθsin240°=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$，
y=sin（θ+240°）=sinθcos240°+cosθsin240°=$\frac{-2\sqrt{6}-1}{6}$，
∴C（$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$，$\frac{-2\sqrt{6}-1}{6}$）；
（2）y_A²+y_B²+y_C²=sin²θ+sin²（θ+120°）+sin²（θ+240°）=sin²θ+（-$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）²+（-$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）²=$\frac{3}{2}$為定值．

點評 本題考查和角的三角函數(shù)，三角函數(shù)的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．