Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}+1}}$（x∈R），如圖是函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的圖象，
（1）求a的值，并補(bǔ)充作出函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的圖象，說明作圖的理由；
（2）根據(jù)圖象指出（不必證明）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域；
（3）若方程f（x）=lnb恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件先求出a的值，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可．
（2）結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷求解即可．
（3）根據(jù)圖象結(jié)合方程f（x）=lnb恰有兩個(gè)不等實(shí)根，得到關(guān)于b的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵由圖象可知f（1）=$\frac{a}{2}$=2，∴a=4…（1分）
∴f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
∵f（-x）=$\frac{-4x}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱…（2分），
補(bǔ)充圖象如圖：
…（4分），
（2）由圖象知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞），值域?yàn)閇-2，2]．
（3）由圖象知，若方程f（x）=lnb恰有兩個(gè)不等實(shí)根，
則0＜lnb＜2或-2＜lnb＜0，
即1＜b＜e²或e^-2＜b＜1，
則b的取值范圍是1＜b＜e²或e^-2＜b＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件先求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．