Question

20．已知銳角A是三角形ABC的一個內角，a，b，c是各內角所對的邊，若sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，則下列各式正確的是（　　）

• A． b+c≤2a
• B． a+c≤2b
• C． a+b≤2c
• D． a²≤bc

Answer 1

分析 已知等式左邊變形后利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，求出cos2A的值，由A為銳角求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出關系式，即可做出判斷．

解答 解：由sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，得cos2A=-$\frac{1}{2}$，
又A為銳角，∴0＜2A＜π，
∴2A=$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理有a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-$\frac{3}{4}$（b+c）²=$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，即4a²≥（b+c）²，
解得：2a≥b+c，
故選：A．

點評 此題考查了二倍角的余弦，余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．