已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體的體積V的大小；
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值．
（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S梯形BCED=
1
2
×(4+1)×4=10
∴即該幾何體的體積V=
1
3
•S梯形BCED•AC=
1
3
×10×4=
40
3
．（5分）
（2）解法1：過點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F，連接AF，
則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．（7分）
在△BAF中，∵AB=4
2
，BF=AF═
16+9
=5．
∴cos∠ABF=
BF2+AB2-AF2
2BF•AB
=
2
2
5
．
即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為
2
2
5
．（12分）
解法2：
以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．（6分）
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴
DE
=(0，-4，3)，
AB
=(-4，4，0)，（8分）
∴cos＜
DE
，
AB
＞=-
2
2
5

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為
2
2
5
．（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在四面體ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小為60°，求AC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與B1D所成的角為（　�。�
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為（　�。�
A．30°B．45°C．60°D．90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′中，直線D′A與DB所成的角可以表示為（　　）
A．∠D′DBB．∠AD′C′C．∠ADBD．∠DBC′

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成的角為（　　）
A．30°B．45°C．60°D．90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．
（1）若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a，求EF的長；
（2）若AD=BC=2a，EF=
3
a，求異面直線AD與BC所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=
2
AB，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，則AE與平面PDB所成的角的大小為______．

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