Question

11．設函數(shù)f（x）=alnx+bx²，若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導數(shù)，由題意可得f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，解方程即可得到所求值；
（2）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值．

解答 解∵（1）f（x）=alnx+bx²，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+2bx，
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a+2b=0}\\{f（1）=b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，
f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
當$\frac{1}{e}$≤x≤e時，
令f′（x）＞0得$\frac{1}{e}$≤x＜1，
令f′（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]，上單調(diào)遞增，
在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

點評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．