Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{a^2}x+\frac{1}{2}a$（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，x∈[-1，2]，求f（x）的最值．
（Ⅱ）若對任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)在閉區(qū)間上的單調性，從而求出函數(shù)的最值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f′（x）=（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在[-1，1）遞減，在（1，2]遞增，
而f（1）=-$\frac{1}{6}$，f（-1）=f（2）=$\frac{7}{6}$，
故最大值$\frac{7}{6}$，最小值-$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）f′（x）=（x+a）（x-a），
令f′（x）=0，x₁=-a，x₂=a，
①當a=0時，f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0不合題意；
②當a＞0時，f（x）在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a）＞0，得0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③當a＜0時，f（x）在（0，-a）上是減函數(shù)，在（-a，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-a）＜f（0）＜0，不合題意．
綜上，0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．