Question

2．已知線段AB的長(zhǎng)度為3，其兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M滿足$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)曲線C與x軸正半軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作傾斜角為α、β的兩條直線，分別交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)$α+β=\frac{π}{2}$時(shí)，直線PQ是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），依題意A（$\frac{3x}{2}$，0），B（0，3y），由此能求出M軌跡C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得D（2，0）．
①當(dāng)α、β不為0時(shí)，由$α+β=\frac{π}{2}$得tanα•tanβ=1，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=1$⇒y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4，直線PQ：y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
②當(dāng)α、β中有一個(gè)為0時(shí)，直線PQ為x軸，符合題意．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），依題意A（$\frac{3x}{2}$，0），B（0，3y），
由|AB|=3，得$\frac{9{x}^{2}}{4}$+9y²=9，
∴M軌跡C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得D（2，0）．
①當(dāng)α、β不為0時(shí)，由$α+β=\frac{π}{2}$得tanα•tanβ=1，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=1$⇒y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4
設(shè)直線PQ：y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+8mkx+4（m²-1）=0
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
由⇒y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4得$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}+\frac{16km}{1+4{k}^{2}}+4$，
化簡(jiǎn)得3m²+16km+20k²=0，解得m=-2k或m=-$\frac{10}{3}k$
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線方程為y=k（x-2）不符合題意．
當(dāng)m=-$\frac{10}{3}$k時(shí)，直線方程為y=k（x-$\frac{10}{3}$），過定點(diǎn)（$\frac{10}{3}$，0），符合題意．
②當(dāng)α、β中有一個(gè)為0時(shí)，直線PQ為x軸，過定點(diǎn)（$\frac{10}{3}$，0），符合題意．
綜上，當(dāng)$α+β=\frac{π}{2}$時(shí)，直線PQ過定點(diǎn)（$\frac{10}{3}$，0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．屬于中檔題．