Question

設(shè)各項均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是等差數(shù)列，并寫出a_2n關(guān)于n的表達式；
（2）確定a₁的值，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，求數(shù)列|a_nsin（a_nπ-

π

2

）|的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當n=1時，2a₁=a₁•a₂，由于a₁≠0，可得a₂=2．利用2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*），可得
2S_n+1=a_n+1•a_n+2，兩式相減利用a_n+1≠0，可得a_n+2-a_n=2．再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可知：a_2n=2n．因此要使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則滿足a₂-a₁=

2

2

=1，解出即可．
（3）由（2）可得：a_n=n．可得a_nsin（a_nπ-

π

2

）=nsin(nπ-

π

2

)=-ncosnπ，|-ncosnπ|=n，即可得出
數(shù)列{|a_nsin（a_nπ-

π

2

）|}的前n項和T_n．

解答： （1）證明：當n=1時，2a₁=a₁•a₂，
∵a₁≠0，∴a₂=2．
∵2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*），可得2S_n+1=a_n+1•a_n+2，
兩式相減可得：2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=2．
∴數(shù)列a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是等差數(shù)列，
a_2n=a₂+2（n-1）=2n．
（2）由（1）可知：a_2n=2n．
因此要使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則滿足a₂-a₁=

2

2

=1，
∴a₁=1．
因此當a₁=1時，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（3）由（2）可得：a_n=n．
∴a_nsin（a_nπ-

π

2

）=nsin(nπ-

π

2

)=-ncosnπ，
∴|-ncosnπ|=n，
∴數(shù)列{|a_nsin（a_nπ-

π

2

）|}的前n項和T_n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

．

點評：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．