Question

12．已知在（2x+$\frac{3}{{\root{3}{x}}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為5：2．
（Ⅰ）求含x²的項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件求得n=6，在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得含x²的項(xiàng)的系數(shù)．
（Ⅱ）在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于整數(shù)，求出r的值，即可求得求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得 $\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{n}^{1}}$=$\frac{5}{2}$，∴n=6，它的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•2^6-r•3^r•${x}^{6-\frac{4}{3}r}$，
令6-$\frac{4r}{3}$=2，求得r=3，故含x²的項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{6}^{3}$•2³•3³=4320．
（Ⅱ）令6-$\frac{4r}{3}$∈Z，求得r=0，3，6，
故展開(kāi)式中有理項(xiàng)為 T₁=${C}_{6}^{0}$•2⁶•x⁶，T₄=${C}_{6}^{3}$•2³•3³•x²，T₇=${C}_{6}^{6}$•3⁶•x^-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．