Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{kx}{{x}^{2}+3k}$（k＞0）．
（1）若f（x）＞m的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，求不等式5mx²+$\frac{k}{2}$x+3＞0的解集；
（2）若存在x＞3使得f（x）＞1成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）＞m的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，可得 f（-3）=m，f（-2）=m，求得m、k的值，從而求得不等式5mx²+$\frac{k}{2}$x+3＞0的解集．
（2）由題意可得k＞$\frac{{x}^{2}}{x-3}$在（3，+∞）上能成立，故k大于g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-3}$的最小值．再利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最小值，可得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{kx}{{x}^{2}+3k}$（k＞0），f（x）＞m的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，
∴f（-3）=m，f（-2）=m，即 $\frac{-3k}{9+3k}$=m，且 $\frac{-2k}{4+3k}$=m，求得k=2，m=-$\frac{2}{5}$，
故不等式5mx²+$\frac{k}{2}$x+3＞0，即 不等式-2x²+x+3＞0，即 2x²-x-3＜0，求得-1＜x＜$\frac{3}{2}$，
故不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{3}{2}$ }．
（2）∵存在x＞3使得f（x）＞1成立，∴$\frac{kx}{{x}^{2}+3k}$＞1在（3，+∞）上有解，
即x²-kx+3k＜0在（3，+∞）上有解，k＞$\frac{{x}^{2}}{x-3}$在（3，+∞）上能成立，
故k大于g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-3}$的最小值．
∵g′（x）=$\frac{x（x-6）}{{（x-3）}^{2}}$，∴在（3，6）上，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
在（6，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，故g（x）的最小值為g（6）=12，∴k＞12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解集與方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的能成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．