Question

7．己知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，2sinx），$\overrightarrow$=（2cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）用五點法作出函數(shù)f（x）在一個周期的圖象；
（2）寫出函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積的公式求出函數(shù)f（x）的解析式，利用列表描點即可用五點法作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和對稱性的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，2sinx），$\overrightarrow$=（2cosx，$\sqrt{3}$cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
函數(shù)的周期T=π
列表如下：

x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1	1	3	1	-1	1

作圖如下：

（2）由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
可得$kπ-\frac{π}{3}＜x＜kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．
由2x+$\frac{π}{6}=kπ$．可得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，k∈Z．
函數(shù)的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，1），k∈Z．

點評 本題主要考查了五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數(shù)的單調(diào)性和對稱中心的求解，利用向量數(shù)量積的公式求出函數(shù)f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．