Question

17．函數f（x）=$\frac{1}{x}$+x+alnx（a＜0）單調增區(qū)間是（$\frac{-a\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞$）．

Answer 1

分析 先求導，$f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+1+\frac{a}{x}=\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}（x＞0）$，再令f′（x）＞0，即x²+ax-1＞0（x＞0），從而轉化為求不等式的解的問題，注意到h（x）=x²+ax-1中，h（0）＜0且開口向上，結合著圖象，不難得出答案．

解答 $f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+1+\frac{a}{x}=\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}（x＞0）$，
令f′（x）＞0，則x²+ax-1＞0（x＞0），
設h（x）=x²+ax-1（x＞0），由h（0）＜0知，
h（x）有一正一負兩個零點，又開口向上，
結合圖象易得，當$x＞\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$時，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）的單調增區(qū)間是$（\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞）$．
故答案為$（\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞）$

點評 本題是導數單調性的常見題型，在求函數的單調區(qū)間時，要學會簡化問題，如本題中，最后簡化成求不等式x²+ax-1＞0（x＞0）的解集問題，此時只需要結合著圖象，利用數形結合的方式即可很快的得到答案，特別是在選擇填空題里，數形結合不失為一種簡單快捷的好方法．