Question

17．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+x+alnx（a＜0）單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{-a\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞$）．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，$f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+1+\frac{a}{x}=\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}（x＞0）$，再令f′（x）＞0，即x²+ax-1＞0（x＞0），從而轉(zhuǎn)化為求不等式的解的問(wèn)題，注意到h（x）=x²+ax-1中，h（0）＜0且開(kāi)口向上，結(jié)合著圖象，不難得出答案．

解答 $f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+1+\frac{a}{x}=\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}（x＞0）$，
令f′（x）＞0，則x²+ax-1＞0（x＞0），
設(shè)h（x）=x²+ax-1（x＞0），由h（0）＜0知，
h（x）有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)，又開(kāi)口向上，
結(jié)合圖象易得，當(dāng)$x＞\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$時(shí)，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$（\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞）$．
故答案為$（\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}，+∞）$

點(diǎn)評(píng) 本題是導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的常見(jiàn)題型，在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要學(xué)會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題，如本題中，最后簡(jiǎn)化成求不等式x²+ax-1＞0（x＞0）的解集問(wèn)題，此時(shí)只需要結(jié)合著圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式即可很快的得到答案，特別是在選擇填空題里，數(shù)形結(jié)合不失為一種簡(jiǎn)單快捷的好方法．