Question

5．設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（如$[2]=2，[\frac{5}{4}]=1$）．對(duì)于給定的n（n＞1，n∈N^*），定義$C_n^x=\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞），若當(dāng)$x∈[\frac{3}{2}，3）$時(shí)，函數(shù)$f（x）=C_n^x$的值域是（a，b]∪（c，d]（a，b，c，d∈R），則n的最小值是（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 把定義域分成[$\frac{3}{2}$，2）和[2，3），利用分段函數(shù)表示出f（x）的解析式，求出f（x）的值域，根據(jù)值域的形式判斷兩段值域的端點(diǎn)大小，列出不等式解出n．

解答 解：當(dāng)x∈[$\frac{3}{2}$，2）時(shí)，[x]=1，∴f（x）=${C}_{n}^{x}$=$\frac{n}{x}$，∴f（x）在[$\frac{3}{2}$，2）上是減函數(shù)，∴f（x）在[$\frac{3}{2}$，2）上的值域?yàn)椋?\frac{n}{2}$，$\frac{2n}{3}$]．
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2，∴f（x）=${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）}{x（x-1）}$，∴f（x）在[2，3）上是減函數(shù)，∴f（x）在[2，3）上的值域?yàn)椋?\frac{{n}^{2}-n}{6}$，$\frac{{n}^{2}-n}{2}$]．
∵函數(shù)$f（x）=C_n^x$的值域是（a，b]∪（c，d]，∴$\frac{2n}{3}$＜$\frac{{n}^{2}-n}{6}$或$\frac{{n}^{2}-n}{2}$＜$\frac{n}{2}$．解得n＞5或0＜n＜2．
∵n＞1，n∈N^*，∴n的最小值是6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的值域，新定義的理解，屬于中檔題．