Question

10．某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物，運輸成本由燃料費用和其他費用組成．已知該貨輪每小時的燃料費用w與其航行速度x的平方成正比（即：w=kx²，其中k為比例系數(shù)）；當(dāng)航行速度為30海里/小時時，每小時的燃料費用為450元，其他費用為每小時800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時．
（1）請將從甲地到乙地的運輸成本y（元）表示為航行速度x（海里/小時）的函數(shù)；
（2）要使從甲地到乙地的運輸成本最少，該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛？

Answer 1

分析 （1）由題意，每小時的燃料費用為w=kx²，當(dāng)x=30時，900k=450，解得k．從甲地到乙地所用的時間為$\frac{300}{x}$小時，可得從甲地到乙地的運輸成本：y=0.5x²$•\frac{300}{x}$+800$•\frac{300}{x}$（0＜x≤50）．
（2）法一：f′（x）=150$（1-\frac{1600}{{x}^{2}}）$，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值；
法二：由（1）得：y=150$（x+\frac{1600}{x}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意，每小時的燃料費用為w=kx²，當(dāng)x=30時，900k=450，解得k=0.5…（2分）
從甲地到乙地所用的時間為$\frac{300}{x}$小時，則從甲地到乙地的運輸成本：
y=0.5x²$•\frac{300}{x}$+800$•\frac{300}{x}$（0＜x≤50），…（5分）
=150$（x+\frac{1600}{x}）$．
故所求的函數(shù)為y=f（x）=150$（x+\frac{1600}{x}）$．…（6分）
（2）法一：f′（x）=150$（1-\frac{1600}{{x}^{2}}）$，…（8分）
令f′（x）=0，解得x=40，
0＜x＜40時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；40＜x≤50時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x=40時，y取得極小值，也是最小值．…（11分）
故當(dāng)貨輪航行速度為40海里/小時時，能使該貨輪運輸成本最少．…（12分）
法二：由（1）得：y=150$（x+\frac{1600}{x}）$≥150×2$\sqrt{x•\frac{1600}{x}}$=12000，…（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1600}{x}$，即x=40時取等號．…（11分）
故當(dāng)貨輪航行速度為40海里/小時時，能使該貨輪運輸成本最少．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．