Question

20．已知函象y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，記g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]，若y=g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 先表述出函數(shù)f（x）的解析式然后代入將函數(shù)g（x）表述出來，然后對底數(shù)a進(jìn)行討論即可得到答案

解答 解：已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
則f（x）=log_ax，記g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（log_ax）²+（log_a2-1）log_ax．
當(dāng)a＞1時，
若y=g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，y=log_ax為增函數(shù)，
令t=log_ax，t∈[$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$，log_a2]，要求對稱軸-$\frac{lo{g}_{a}^{2}-1}{2}$$≤lo{g}_{a}^{\frac{1}{2}}$，矛盾；
當(dāng)0＜a＜1時，若y=g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，y=log_ax為減函數(shù)，
令t=log_ax，t∈[log_a2，log${\;}_{a}^{\frac{1}{2}}$]，要求對稱軸$-\frac{lo{g}_{a}^{2}}{2}≥lo{g}_{a}^{\frac{1}{2}}$，
解得a≤$\frac{1}{2}$，
所以實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]，
故答案為（0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．這里注意指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)的大小有關(guān)，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時單調(diào)遞減