Question

11．棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若與D₁B平行的平面截正方體所得的截面面積為S，則S的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，取AA₁與CC₁的中點M和N，得出四邊形MBND₁的面積S，從而得出與D₁B平行的平面截正方體所得截面面積S的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，取AA₁的中點M，CC₁的中點N，
連接D₁M、MB、BN、ND₁，如圖所示；
則MN⊥BD₁，
又AB=a，∴MN=$\sqrt{2}a$，BD₁=$\sqrt{3}a$，
∴四邊形MBND₁的面積為S=$\frac{1}{2}$•MN•BD₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$a×$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$．
∴與D₁B平行的平面截正方體所得截面面積S的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$）．

點評 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間中的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．