Question

正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a₁，則

1

m

+

9

n

的最小值是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)得出m+n=4，運(yùn)用基本不等式

1

m

+

9

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

4

（10+

9m

n

+

n

m

）≥

1

4

×（10+6）=4，（n=3m等號(hào)成立）求解即可．

解答： 解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，
∴q⁶=q⁵+2q⁴，
q=2，q=-1（舍去），
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a₁，
∴（a₁）²•2^m-1•2^n-1=4（a₁）²，
即m+n=4，
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

4

（10+

9m

n

+

n

m

）≥

1

4

×（10+6）=4，（n=3m等號(hào)成立）
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題，難度不大．