Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx，g（x）=b+lnx（a∈[-1，2]，b∈R，b≠0）
（Ⅰ）求命題A：“函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線”為真命題的概率；
（Ⅱ）若a∈Z，b∈{-2，-1，1，2}，寫出所有的數(shù)對（a，b）．設(shè)函數(shù)φ（x）=

f(x)，x≤1 g(x)，x＞1

，記“?x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂，

φ(x1)-φ(x2)

x1-x2

＞0”為事件B，求事件B發(fā)生的概率P（B）．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由拋物線開口向上可得a＞0，由幾何概型可得所求概率為

2

3

；（Ⅱ）列舉可得所有的數(shù)對（a，b）共16個，由函數(shù)的單調(diào)性可得a+b≤0，滿足條件的數(shù)對（a，b）共8個，由概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線開口向上可得a＞0，
∵a∈[-1，2]，∴由幾何概率型可得所求概率為

2

3

；
（Ⅱ）所有的數(shù)對（a，b）為：
（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（0，-2），
（0，-1），（0，1），（0，2），（1，-2），（1，-1），（1，1）
（1，2），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，1）共16個，
∵x＞1時，φ（x）=g（x）=b+lnx在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)，
∴“?x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂，

φ(x1)-φ(x2)

x1-x2

＞0”成立，
∴要使事件B發(fā)生，只需f（1）≤g（1），即a+b≤0，
滿足條件的數(shù)對（a，b）為（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（0，-2），
（0，-1），（1，-2），（1，-1），（2，-2）共8個，
∴所求概率為

8

16

=

1

2

點評：本題考查列舉法求古典概型的概率，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．