Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，點M在線段AB上．

（1）若M是AB中點，證明AC1∥平面B1CM；

（2）當BM時，求直線C1A1與平面B1MC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連結(jié)BC1，交B1C于E，連結(jié)ME．利用三角形的中位線證得，由此證得平面.

（2）以為原點建立空間直角坐標系，通過直線的方向向量和平面的法向量，計算出線面角的正弦值.

（1）證明：連結(jié)BC1，交B1C于E，連結(jié)ME．

∵側(cè)面BB1C1C為矩形，

∴E為BC1的中點，又M是AB的中點，

∴ME∥AC1．

又ME平面B1CM，AC1平面B1CM，

∴AC1∥平面B1CM．

（2）以C為原點，以CB，CA，CC1為坐標軸建立空間直角坐標系C﹣xyz如圖所示：

則B1（0，3，3），A1（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C1（0，0，3），AB＝3，∴BMBA．

∴（0，3，3），（1，2，0），（3，0，0）．

設平面B1MC的法向量為（x，y，z），則0，，

∴，令z＝1得（2，﹣1，1）．

∴cos，．

故當BM時，直線C1A1與平面B1MC所成角的正弦值為．