P是雙曲線
x2
8
-y2=1上一點，M，N為雙曲線的兩個焦點．
（1）當∠MPN=
π
3
時，求△MPN的面積；
（2）當∠MPN為銳角時，求P的橫坐標xp的范圍．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）運用雙曲線的定義和余弦定理及面積公式，即可求得；
（2）設p（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點坐標，根據(jù)∠MPN是銳角推斷出PM2+PN2＞MN2，代入P坐標求得x和y的不等式關系，求得xp的范圍．
解答： （1）解：∵雙曲線的標準方程為：
x2
8
-y2=1，
∴a=2
2
，b=1，c=3．
又∵P為雙曲線上一點，∠MPN=
π
3
，M，N為雙曲線的兩個焦點，
∴||PM|-|PN||=2a=4
2
，|MN|=6，
∴|MN|2=（|PM|-|PN|）2+2|PM||PN|-2|PM|•|PN|cos
π
3
，
=32+|PM|•|PN|=36，
∴|PM|•|PN|=4．
∴S△MPN=
1
2
|PM|•|PN|sin
π
3
=
3
；
（2）設p（x，y），則 M（-3，0），N（3，0），
且∠MPN是鈍角，PM2+PN2＞MN2，即（x+3）2+y2+（x-3）2+y2＞36，
即x2+y2＞9，即x2+（
x2
8
-1）＞9，
即x2＞
80
9
．
即x＜-
4
5
3
，或x＞
4
5
3
．
故點P的橫坐標xp的取值范圍為（-∞，-
4
5
3
）∪（
4
5
3
，+∞）
點評：本題主要考查了雙曲線的定義和方程及簡單性質(zhì)和解不等式，考查余弦定理和面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

2012年中秋、國慶雙節(jié)期間，中央電視臺推出了《走基層•百姓心聲》調(diào)查節(jié)目，入基層對幾千名各行業(yè)的人進行采訪，面對的問題都是“你幸福嗎？”“幸�！狈Q為媒體的熱門詞匯．現(xiàn)隨機抽取50位市民，對他們的幸福指數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到如下分布表：
幸福級別非常幸福幸福不知道不幸福
幸福指數(shù)（分）9060300
個數(shù)（個）192173
（1）求這個50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學期望（即平均值）；
（2）以這50人為樣本的幸福指數(shù)來估計全市民的總體幸福指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到幸福級別為“非常幸�；蛐腋！笔忻袢藬�(shù)；求ξ的分布列以及Eξ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+x2+|x-a|，（a是常數(shù)，且a≤
1
3
）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當-2≤x≤1時，f（x）的最大值為
7
2
，最小值為t，求t的值，并寫出相應的a值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知3
a
-2
b
=（-2，0，4），
c
=（-2，1，2），
a
•
c
=2，|
b
|=4，求cos＜
b
，
c
＞．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2an-Sn=1，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在數(shù)列{an}的第兩項之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列{bn}；an和an+1兩項之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求b100的值．
（3）對于（2）中的數(shù)列{bn}，若bm=a100，求m的值，并求b1+b2+b3+…+bm．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，圓（x-1）2+y2=4被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為
15
，則此雙曲線的離心率為（　　）
A、
3
2
B、
2
3
3
C、2
D、
3
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知任意向量
a
，
b
及實數(shù)λ，那么“λ
a
+
b
=0”成立是“
a
∥
b
”成立的（　�。�
A、充分非必要條件
B、必要非充分條件
C、充分必要條件
D、非充分必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設拋物線y2=2px（p＞0）的軸和它的準線交于E點，經(jīng)過焦點F的直線交拋物線于P、Q兩點（直線PQ與拋物線的對稱軸不垂直），則∠FEP與∠QEF的大小關系為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設P是△ABC所在平面外一點，P到△ABC各頂點的距離相等，而且P到△ABC各邊的距離也相等，那么△ABC（　　）
A、是非等腰的直角三角形
B、是等腰直角三角形
C、是等邊三角形
D、不是A、B、C所述的三角形

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