Question

8．已知點(diǎn)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上，定點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），然后根據(jù)題意（x，2y）在圓x²+y²=8上，整理即可解出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．

解答 解：（1）在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
則點(diǎn)（x，2y）在圓x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8．
整理得曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又K_OM=$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
∴x²+2mx+2m²-4=0，∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{x{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{x{x}_{1}-2}$++$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2{m}^{2}-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2{m}^{2}-4-2{m}^{2}+4m-4m+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0．
k₁+k₂=0．
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及橢圓的方程問題．考查對知識的綜合運(yùn)用能力，需要用到一元二次方程的根的判別式．本題屬于中檔題．