Question

11．已知i是虛數(shù)單位．
（Ⅰ）若復(fù)數(shù)z滿足（z+i）²=2i，求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）若復(fù)數(shù)z=$\frac{2a+i}{-1+2i}$為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值及|z|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令z=m+ni（m，n∈R），代入由（z+i）²=2i，展開(kāi)后由復(fù)數(shù)相等的條件列關(guān)于m，n的方程組，求得m，n的值，則復(fù)數(shù)z可求；
（Ⅱ）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部等于0且虛部不等于0求得a值，進(jìn)一步得到z，則|z|可求．

解答 解：（Ⅰ）令z=m+ni（m，n∈R），代入由（z+i）²=2i，
得[m+（n+1）i]²=m²-（n+1）²+2m（n+1）i=2i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-（n+1）^{2}=0}\\{m（n+1）=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$．
∴z=1或z=-1-2i；
（Ⅱ）由復(fù)數(shù)z=$\frac{2a+i}{-1+2i}$=$\frac{（2a+i）（-1-2i）}{（-1+2i）（-1-2i）}=\frac{（-2a+2）-（4a-1）i}{5}$為純虛數(shù)，
得$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2=0}\\{4a-1≠0}\end{array}\right.$，解得a=1．
∴|z|=|-i|=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，訓(xùn)練了復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．