Question

20．已知f（x）=x²+ax+a（x∈R），g（x）=e^x，h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求h（x）在x∈[1，+∞）是遞減的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到2-a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=（x²+x+1）e^-x，h′（x）=e^-x（-x²+x），
當(dāng)h′（x）＞0時(shí)，0＜x＜1；當(dāng)h′（x）＜0時(shí)，x＞1或x＜0，
∴h（x）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（0，1）；
（2）h′（x）=e^-x[-x²+（2-a）x]，
∵h(yuǎn)（x）在x∈[1，+∞）是遞減的，
∴h′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴-x²+（2-a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤1，∴a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．