Question

5．設f（x）=$\frac{e^x}{{1+a{x^2}}}$，其中a為正實數(shù)．
（1）求證：直線y=x+1恒為曲線f（x）=$\frac{e^x}{{1+a{x^2}}}$的切線；
（2）當a=$\frac{4}{3}$時，求f（x）的極值點；
（3）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線y=x+1與曲線y=f（x）的公共點為（0，1），再證明y=x+1就是曲線在該點處的切線
（2）先求導數(shù)，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，通過列表來確定極值點即可
（3）根據(jù)a為正實數(shù)，確定f（x）只能是單調(diào)遞增函數(shù)，故f'（x）≥0恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到△≤0，從而求出a的取值范圍

解答 f'（x）=$\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-2{e}^{x}ax}{（1+a{x}^{2}）^{2}}=\frac{（a{x}^{2}-2ax+1）{e}^{x}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，
（1）∵f（0）=1，∴點（0，1）是直線y=x+1與曲線$f（x）=\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$的公共點，
又∵f'（0）=1，
∴直線y=x+1恒為曲線$f（x）=\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$的切線，
（2）當$a=\frac{4}{3}$時，$f'（x）=\frac{（\frac{4}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+1）{e}^{x}}{（1+\frac{4}{3}{x}^{2}）^{2}}=\frac{\frac{4}{3}（x-\frac{1}{2}）（x-\frac{3}{2}）{e}^{x}}{（1+\frac{4}{3}{x}^{2}）^{2}}$，
由f'（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{3}{2}$，
當x變化時，f'（x）與f（x）的相應變化如下表：

X	（-∞，$\frac{1}{2}$ ）	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以$x=\frac{1}{2}$是f（x）的極大值點，$x=\frac{3}{2}$是f（x）的極小值點，
（3）∵f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，且a為正實數(shù)，
∴f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f'（x）≥0恒成立，即ax²-2ax+1≥0恒成立，
∴△=4a²-4a≤0，又∵a＞0，
∴0＜a≤1．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，是高考中的熱點問題，屬于基礎題