Question

已知拋物線C：y²=4x，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)A且斜率為k的直線l與拋物線C交于P、Q兩點(diǎn)，求滿足

FR

=

FP

+

FQ

的點(diǎn)R的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：由拋物線方程求出準(zhǔn)線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出A的坐標(biāo)和直線l的方程，聯(lián)立直線方程與圓錐拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到P，Q兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的和，結(jié)合

FR

=

FP

+

FQ

由向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算得到R的坐標(biāo)與P，Q坐標(biāo)的關(guān)系，得到R的參數(shù)方程，消去參數(shù)k后得答案．

解答： 解：由y²=4x，得其準(zhǔn)線方程為x=-1，即A（-1，0），焦點(diǎn)F（1，0），
則直線l的方程為y-0=k（x+1），
聯(lián)立

y2=4x y=kx+k

，消去y得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x，y），
則x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，x1+x2-1=

4-2k2

k2

-1=

4-3k2

k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2k=

4-2k2

k

+2k=

4

k

．

FR

=(x-1，y)，

FP

=(x1-1，y1)，

FQ

=(x2-1，y2)，
由

FR

=

FP

+

FQ

，得

x-1=x1+x2-2 y=y1+y2

，即

x=x1+x2-1 y=y1+y2

．
∴

x= 4-3k2 k2 y= 4 k

，消去k得：y²=4x+12．
∴滿足

FR

=

FP

+

FQ

的點(diǎn)R的軌跡方程為y²=4x+12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了向量在解圓錐曲線題中的應(yīng)用，是中檔題．