Question

如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，∠BDA=∠EDA．
（1）證明：AE²=CE•DE；
（2）如果AB=6，AE=3，求BC．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（1）連結(jié)OA，由已知得∠OAD=∠ODA，從而∠OAD=∠ADE，進而OA∥DE，由此得到AE是⊙O的切線，從而能夠證明AE²=CE•DE．
（2）由圓的性質(zhì)和弦切角定理得∠DAE=∠ABD，由BD是直徑，AE⊥DE，得∠BAD=∠AED=∠BCD=90°，從而△ABD∽△EAD，由此能求出∠EAD=∠ABO=∠OBA=30°，從而得到△ABD≌△BCD，進而能求出BC=AB=6．

解答： （1）證明：連結(jié)OA，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BDA=∠EDA，∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥DE，
∵AE⊥CD于點E，∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線，
又EDA是⊙O的割線，∴AE²=CE•DE．
（2）解：∵OB=OA=OD，AE是切線，
∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是直徑，AE⊥DE，∴∠BAD=∠AED=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△EAD，又AB=6，AE=3，
∴

AB

AE

=

BD

AD

=

1

2

，∴∠EAD=∠ABO=∠OBA=30°，
∠AOB=∠ADO=∠OAD=∠BDC=60°，
又BD=BD，∴△ABD≌△BCD，
∴BC=AB=6．

點評：本題考查AE²=CE•DE的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意弦切角定理和切割線定理的合理運用．