Question

11．定義符號函數(shù)：sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）=x•sgn（lnx）與函數(shù)g（x）=x⁴-x²的圖象的交點個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 寫出f（x）的解析式，令h（x）=g（x）-f（x），分段討論h（x）的零點個數(shù)．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0＜x＜1}\\{0，x=1}\\{x，x＞1}\end{array}\right.$，令h（x）=g（x）-f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}-{x}^{2}+x，0＜x＜1}\\{0，x=1}\\{{x}^{4}-{x}^{2}-x}\end{array}\right.$．
（1）當0＜x＜1時，h（x）=x⁴-x²+x=x（x³-x+1）=x（x（x²-1）+1），
∵0＜x＜1，∴-1＜x²-1＜0，∴-1＜x（x²-1）＜0，∴0＜x（x²-1）+1＜1，∴x（x（x²-1）+1）＞0，即h（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上無零點．
（2）當x=1時，h（x）=h（1）=g（1）-f（1）=0，∴x=1是h（x）的零點．
（3）當x＞1時，h（x）=x⁴-x²-x，h′（x）=4x³-2x-1，h″（x）=12x²-2，∴當x＞1時，h″（x）＞0
∴h′（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴h_min′（x）=h′（1）=1＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵h（1）=-1＜0，∴h（x）在（1，+∞）上存在唯一一個零點．
綜上，h（x）有兩個零點，即f（x）與g（x）的圖象有兩個交點．
故選：B．

點評 本題考查了分段函數(shù)的零點個數(shù)，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．