Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，并且b=2
（1）若角A，B，C成等差數(shù)列，求△ABC外接圓的半徑；
（2）若三邊a，b，c成等差數(shù)列，求△ABC內(nèi)切圓半徑的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由A，B，C成等差數(shù)列及A+B+C=π，得B= ，

設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理2R= ，R=

（2）解：由三邊a，b，c成等差數(shù)列得2b=a+c，

所以a+b+c=6，

設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，面積為S，則S= （a+b+c）r= accosB，

所以r= ，

因?yàn)閍+c=4≥2，

所以ac≤4，

cosB= = = = ﹣1≥ ﹣1= （a=c取等號(hào)），

所以B∈（0， ]，

所以sinB≤ ，（B= 時(shí)取等號(hào)），

所以r= ≤ = （a=c，B= 時(shí)取等號(hào)，即三角形為正三角形時(shí)）

【解析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得B= ，根據(jù)正弦定理，即可求出半徑；（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+b+c=6，根據(jù)三角的面積公式和余弦定理和基本不等式即可求出．