Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底圖ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E是PC的中點
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）若PD=DC=2，求三棱錐P-EDB的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理證明OE∥PA即可證明PA∥平面BDE，
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用轉化法，進行求解即可．

解答 證明：（1）連接AC，設AC，BD的交點為O，連OE，
由O，E分別為AC，CP中點，
∴OE∥PA
又OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵PD⊥平面ABCD，CD?平面平面ABCD，
∴PD⊥DC，
∵E是PC的中點，且PD=DC=2，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}$S_△PDC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{2}^{2}=1$，
∵PD⊥平面ABCD，AD?平面平面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，
∵BC∥AD．
∴BC⊥平面PDC，
則V_P-EDB=V_B-PDE=$\frac{1}{3}$S_△PDE|BC|=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及三棱錐體積的計算，根據(jù)轉化法轉化為比較好計算的三棱錐的體積是解決本題的關鍵．